高一数学必修1知识点：幂函数的性质考点

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高一数学必修1知识点：幂函数的性质考点

　　定义：

　　形如y=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

　　定义域和值域：

　　当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：

　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

　　而只有a为正数，0才进入函数的值域

　　性质：

　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^（p/q）=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/（x^k），显然x≠0，函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>；0，则a可以是任意实数；

　　排除了为0这种可能，即对于x<；0和x>；0的所有实数，q不能是偶数；

　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。

　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的'，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。

　　可以看到：

　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点。

　　（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

　　（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

　　（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

　　（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。

　　（6）显然幂函数无界。

　　1、函数性质

　　幂函数的、图象一定会出现在、第一象限内，一定不会出现在、第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的、奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与、坐标轴相交，则交点一定是、原点.

　　正值性质

　　当α>0时，幂函数y=x、α有下列性质：

　　a、图像都经过点(1,1)(0,0);

　　b、函数的图像在区间[0,+∞)上是、增函数;

　　c、在第一象限内，α>1时，、导数值逐渐增大;α=1时，导数为、常数;0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0;

　　负值性质

　　当α<0时，幂函数y=x、α有下列性质：

　　a、图像都通过点(1,1);

　　b、图像在区间(0，+∞)上是、减函数;(内容补充：若为X、-2，易得到其为、偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间(-∞，0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)

　　c、在、第一象限内，有两条渐近线(即坐标轴)，、自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

　　零值性质

　　当α=0时，幂函数y=x、a有下列性质：

　　a、y=x、0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。

　　2、函数特性

　　对于α的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　α为约分数

　　如果α=p/q，且p/q为、既约分数(即p，q、互质)，q和p都是、整数，则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)。如果q是、奇数，函数的、定义域是R;如果q是、偶数，函数的、定义域是[0,+∞)。

　　α为负整数

　　当指数α是、负整数时，设α=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在、偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　α小于0时，x不等于0;

　　α的分母为偶数时，x不小于0;

　　α的分母为奇数时，x取R。

　　3、函数判定

　　幂函数的一般形式是y=x，其中，n可为任何实数，但中学阶段仅研究n为有理数的情形，这时可表示为y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互质。特别，当k=1时为整数指数幂。

　　(1)当m，k都为正奇数时，如y=x，y=x，y=x^(3/5)等，定义域、值域均为R，为奇函数;

　　(2)当m为负奇数，k为正奇数时，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x，y=x^(-3/5)等，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数;

　　(3)当m为正奇数，k为正偶数时，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定义域、值域均为[0，+∞)，为非奇非偶函数;

　　(4)当m为负奇数，k为正偶数时，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定义域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数;

　　(5)当m为正偶数，k为正奇数时，如y=x，y=x^(2/3)等，定义域为R、值域为[0，+∞)，为偶函数;

　　(6)当m为负偶数，k为正奇数时，如y=x^(-2)=1/x，y=x^(-2/3)等，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(0，+∞)，为偶函数。、[1]

　　4、讨论分析

　　由于x大于0是对α的、任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各、象限的各自情况。可以看到：

　　(1)所有的图像都通过(1，1)这点.(α≠0)、α>0时、图象过点(、0，0)和(1，1)。

　　(2)、单调区间：

　　当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增;

　　②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增;

　　③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);

　　④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

　　当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增;

　　②当α>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增;

　　③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减;

　　④当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);

　　(3)当α>1时，幂函数图形下凹(竖抛);

　　当0<α<1时，幂函数图形上凸(横抛);

　　当α<0时，图像为双曲线。

　　(4)在(0,1)上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴;在(1，﹢∞)上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。

　　(5)当α<0时，α越小，图形倾斜程度越大。

　　(6)显然幂函数无界限。

　　(7)α=2n(n为整数),该函数为偶函数、{x|x≠0}。

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