2016学年九年级数学上期中试卷

　　∵BP=BC，

　　∴∠BCP=∠BPC= (180°﹣45°)=67.5°，

　　∴∠ACP度数是67.5°﹣45°=22.5°.

　　点评：此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质，平分每一组对角.

　　16.如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB的度数为　22.5°　.

　　考点：正方形的性质;菱形的性质.

　　分析：根据正方形的性质求出∠BAC=45°，再根据菱形的对角线平分一组对角解答即可.

　　解答：解：∵四边形ABCD是正方形，

　　∴∠BAC=45°，

　　∵四边形AEFC是菱形，

　　∴∠FAB= ∠BAC= ×45°=22.5°.

　　故答案为：22.5°.

　　点评：本题考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键.

　　17.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，

　　按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为　　.

　　考点：菱形的性质;规律型：图形的变化类;中点四边形.

　　分析：首先根据题意求得第一个菱形的面积、第二个矩形与菱形面积、第三个矩形与菱形面积，继而得到规律：第n个菱形的面积为：( )2n﹣2，则可求得答案.

　　解答：解：∵第一个矩形的面积为2，

　　∴第一个菱形的面积为1;

　　∴第二个矩形的面积为：，

　　第二个菱形的面积为：( )2，

　　第三个矩形的面积为：( )3，

　　第三个菱形的面积为( )4，

　　依此类推，第n个菱形的面积为：( )2n﹣2，

　　∴第2013个菱形的面积为：( )2×2013﹣2=( )4024= .

　　点评：此题考查了菱形与矩形的性质.此题难度适中，注意得到规律：第n个菱形的面积为：( )2n﹣2是解此题的关键.

　　18.如图，矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，EC=2cm，AD上有一点P，PA=6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P与E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是　　cm.

　　考点：翻折变换(折叠问题).

　　专题：压轴题;探究型.

　　分析：连接EQ，由翻折变换的性质可知△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分线，再由已知条件得出PD及DE的长，由勾股定理得出PE的长，设PQ=x，则QF=5﹣x，用x表示出OQ的长，根据S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE即可得出x的值，进而得出结论.

　　解答：解：连接EQ，

　　∵将纸片折叠，使P与E重合，

　　∴△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分线，

　　∵矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，PA=6cm，CE=2cm，

　　∴PD=4cm，DE=3cm，

　　∵在Rt△DPE中PE= = =5.

　　∴OP= PE= ，

　　设PQ=x，则QF=5﹣x，

　　∴OQ= =

　　∵S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE，即： PE•OQ+ ( QF+CE)×CF= (PF+CE)×CF，

　　即 ×5× + ×(5﹣x+2)×4= ×(5+2)×4，

　　解得x= cm.

　　故答案为： .

　　点评：本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.

　　三、解答题(共20分)

　　19.计算：

　　(1) ﹣ + ;

　　(2)(π﹣2013)0+ +( )﹣1.

　　考点：二次根式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂.

　　专题：计算题.

　　分析： (1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可;

　　(2)根据零指数幂、负整数指数幂的意义得到原式=1+3 + ，然后合并即可.

　　解答：解：(1)原式=2 ﹣ +2

　　= +2 ;

　　(2)原式=1+3 +

　　=1+ .

　　点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幂、负整数指数幂.

　　20.解方程：

　　(1)x2﹣12x﹣4=0;

　　(2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).

　　考点：解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.

　　分析： (1)先移项，再配方，开方后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;

　　(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

　　解答：解：(1)x2﹣12x﹣4=0;

　　x2﹣12x=4，

　　配方得：x2﹣12x+62=4+62，

　　(x﹣6)2=40，

　　开方得：x﹣6=± ，

　　x1=6+2 ，x2=6﹣2 ;

　　(2)移项得：3(x﹣2)2﹣x(x﹣2)=0，

　　(x﹣2)[3(x﹣2)﹣x]=0，

　　x﹣2=0，3(x﹣2)﹣x=0，

　　x1=2，x2=3.

　　点评：本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生解一元二次方程的能力，题目比较好，难度适中.

　　四、解答题(共36分)

　　21.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.

　　考点：平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质.

　　专题：证明题.

　　分析：由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可.

　　解答：证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，

　　∴∠EAD=∠FCB=90°，

　　∵AD∥BC，

　　∴∠ADE=∠CBF，

　　在Rt△AED和Rt△CFB中，

　　∵ ，

　　∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS)，

　　∴AD=BC，

　　∵AD∥BC，

　　∴四边形ABCD是平行四边形.

　　点评：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力.

　　22.如图，在△ABC中，D是边AC上一点，且BD=BC，点E、F分别是DC、AB的中点.求证：

　　(1)EF= AB;

　　(2)过A点作AG∥EF，交BE的延长线于点G，则BE=GE.

　　考点：三角形中位线定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

　　专题：证明题.

　　分析： (1)连接BE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE⊥AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF= AB;

　　(2)求出AF=EF，再根据等边对等角可得∠AEF=∠EAF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AEF=∠EAG，从而得到∠EAF=∠EAG，然后利用等腰三角形三线合一的性质可得BE=GE.

　　解答： (1)证明：如图，连接BE，

　　∵BD=BC，点E是CD的中点，

　　∴BE⊥AC，

　　∵点F是AB的中点，

　　∴EF= AB;

　　(2)解：∵AF=EF= AB，

　　∴∠AEF=∠EAF，

　　∵AG∥EF，

　　∴∠AEF=∠EAG，

　　∴∠EAF=∠EAG，

　　又∵BE⊥AC，

　　∴BE=GE(等腰三角形三线合一).

　　点评：本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键.

　　23.观察下列各式及其验证过程：

　　=2 ，验证： = = =2 .

　　=3 ，验证： = = =3 .

　　(1)按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证;

　　(2)针对上述各式反映的规律，写出用a(a为自然数，且a≥2)表示的等式，并给出验证;

　　(3)用a(a为任意自然数，且a≥2)写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程.

　　考点：二次根式的性质与化简.

　　专题：规律型.

　　分析： (1)利用已知，观察 =2 ， =3 ，可得的值;

　　(2)由(1)根据二次根式的性质可以总结出一般规律;

　　(3)利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可.

　　解答：解：(1)∵ =2 ， =3 ，

　　∴ =4 =4 = ，

　　验证： = = ，正确;

　　(2)由(1)中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，

　　∴ =a ，

　　验证： = =a ;正确;

　　(3) =a (a为任意自然数，且a≥2)，

　　验证： = = =a .

　　点评：此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键.

　　24.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G.

　　(1)猜想线段GF与GC有何数量关系?并证明你的结论;

　　(2)若AB=3，AD=4，求线段GC的长.

　　考点：矩形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;翻折变换(折叠问题).

　　分析： (1)连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证;

　　(2)设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解.

　　解答：解：(1)GF=GC.

　　理由如下：连接GE，

　　∵E是BC的中点，

　　∴BE=EC，

　　∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

　　∴BE=EF，

　　∴EF=EC，

　　∵在矩形ABCD中，

　　∴∠C=90°，

　　∴∠EFG=90°，

　　∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

　　，

　　∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL)，

　　∴GF=GC;

　　(2)设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，

　　在Rt△ADG中，42+(3﹣x)2=(3+x)2，

　　解得x= .

　　点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键.

　　25.平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(﹣1，3)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的.

　　(1)请写出旋转中心的坐标是　(0，0)　，旋转角是　90　度;

　　(2)以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形.

　　考点：作图-旋转变换.

　　专题：作图题.

　　分析： (1)根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角;

　　(2)根据网格结构分别找出找出△A1AC1顺时针旋转90°、180°后的对应点的位置，然后顺次连接即可.

　　解答：解：(1)旋转中心的坐标是(0，0)，旋转角是90度;

　　(2)如图所示，△A1A2C2是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转90°的三角形，

　　△A2C3B是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转180°的三角形.

　　点评：本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的旋转中心与旋转角的确定，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

　　26.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动.

　　(1)用含有t的代数式表示PE=　﹣ t+3　;

　　(2)探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形?

　　(3)是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的t的值;若不存在，请说明理由.

　　考点：四边形综合题.

　　分析： (1)由四边形ABCD为矩形，得到∠D为直角，对边相等，可得三角形ADC为直角三角形，由AD与DC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由PE平行于CD，利用两直线平行得到两对同位角相等，可得出三角形APE与三角形ADC相似，由相似得比例，将各自的值代入，整理后得到y与x的关系式;

　　(2)若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，可得出三角形APQ与三角形BEC相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值;

　　(3)存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由AE﹣AQ表示出QE，再根据PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值;当Q在EC上时，由AQ﹣AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE=QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值.

　　解答：解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

　　∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，

　　∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC= =5，

　　∵PE∥CD，

　　∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，

　　∴△APE∽△ADC，

　　又∵PD=t，AD=4，AP=AD﹣PD=4﹣t，AC=5，DC=3，

　　∴ = = ，即 = = ，

　　∴PE=﹣ t+3.

　　故答案为：﹣ t+3;

　　(2)若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，

　　故QB与PE不平行，